看360
大圆筒内有实心小圆柱体会怎样滚动？一年级女儿问的？
水平面上大圆筒套小圆筒的运动图1 水平面上大筒套小圆筒的运动示意一年级小朋友的问题能难住大人。如图1，大圆筒在地面上做纯滚动，小圆筒在大圆筒内部纯滚动，不计滑动摩擦以及其它一切耗散，现在研究该系统的运动。记大小圆筒半径为 ，并假定大圆筒壁厚很薄。先令大圆筒顺时针转动 角，则大圆筒质心位置坐标：
在此基础上，继续令小圆筒逆时针转动角度 ，相应地大小圆筒的质心连线顺时针转动 角，那么利用纯滚动 (无相对滑动) 条件有:
故小圆筒质心位置：
写出系统动能：
其中： 是大小圆筒的质量， 是大小圆筒关于质心的转动惯量。此外系统势能：
故此可得系统的 Lagrange 函数：
代入 Lagrange 方程：
只要不避繁琐，即得显式的系统控制方程：
以及：
非线性微分方程式（1）和式（2）结合初始条件，即构成双筒套滚的定解问题。特别地，对于微幅振动，控制方程式（1）和（2）可以简化为：
和：
式（3）和式（4）构成常系数线性微分动力系统，不难求解。
大圆筒内有实心小圆柱体会怎样滚动？一年级女儿问的？
水平面上大圆筒套小圆筒的运动图1 水平面上大筒套小圆筒的运动示意一年级小朋友的问题能难住大人。如图1，大圆筒在地面上做纯滚动，小圆筒在大圆筒内部纯滚动，不计滑动摩擦以及其它一切耗散，现在研究该系统的运动。记大小圆筒半径为 ，并假定大圆筒壁厚很薄。先令大圆筒顺时针转动 角，则大圆筒质心位置坐标：
在此基础上，继续令小圆筒逆时针转动角度 ，相应地大小圆筒的质心连线顺时针转动 角，那么利用纯滚动 (无相对滑动) 条件有:
故小圆筒质心位置：
写出系统动能：
其中： 是大小圆筒的质量， 是大小圆筒关于质心的转动惯量。此外系统势能：
故此可得系统的 Lagrange 函数：
代入 Lagrange 方程：
只要不避繁琐，即得显式的系统控制方程：
以及：
非线性微分方程式（1）和式（2）结合初始条件，即构成双筒套滚的定解问题。特别地，对于微幅振动，控制方程式（1）和（2）可以简化为：
和：
式（3）和式（4）构成常系数线性微分动力系统，不难求解。
大圆筒内有实心小圆柱体会怎样滚动？一年级女儿问的？
如果我有一个这样的女儿，我大概会这么做：
第一步，用一些简单的例子来介绍惯性（汽车启动），然后给一些引导，让她猜测出外部圆筒突然开始滚动后，内部圆筒会因为惯性留在原位
（实际上这并不准确，但惯性比受力分析容易理解）
第二步，用一些简单的例子来介绍杠杆（跷跷板，起子），然后给一些引导，让她猜测出内部的圆筒会施加一个将外部圆筒往原位推的力
（这也不准确，但杠杆比动量分析容易理解）
第三步，用一些简单的例子来介绍简谐振动（单摆，弹簧振子），然后给一些引导，让她猜测出外部的圆筒会往复滚动
（这当然还是不准确，但我们只是定性分析而已，不要在意细节）
第四步，实验验证，然后分析实验失败原因（阻力太大，我的动手能力不行，导致模型的结构不稳定）
大圆筒内有实心小圆柱体会怎样滚动？一年级女儿问的？
如果我有一个这样的女儿，我大概会这么做：
第一步，用一些简单的例子来介绍惯性（汽车启动），然后给一些引导，让她猜测出外部圆筒突然开始滚动后，内部圆筒会因为惯性留在原位
（实际上这并不准确，但惯性比受力分析容易理解）
第二步，用一些简单的例子来介绍杠杆（跷跷板，起子），然后给一些引导，让她猜测出内部的圆筒会施加一个将外部圆筒往原位推的力
（这也不准确，但杠杆比动量分析容易理解）
第三步，用一些简单的例子来介绍简谐振动（单摆，弹簧振子），然后给一些引导，让她猜测出外部的圆筒会往复滚动
（这当然还是不准确，但我们只是定性分析而已，不要在意细节）
第四步，实验验证，然后分析实验失败原因（阻力太大，我的动手能力不行，导致模型的结构不稳定）
大圆筒内有实心小圆柱体会怎样滚动？一年级女儿问的？
水平方向上动量守恒列出第一个方程。
总体系能量守恒列出第二个方程。
发现方程是非线性的，考虑小角度近似，得到简谐振动。
大圆筒内有实心小圆柱体会怎样滚动？一年级女儿问的？
水平方向上动量守恒列出第一个方程。
总体系能量守恒列出第二个方程。
发现方程是非线性的，考虑小角度近似，得到简谐振动。
大圆筒内有实心小圆柱体会怎样滚动？一年级女儿问的？
参考第三十四届全国中学生物理竞赛复赛第一题
另外题主女儿年纪这么小就可以思考如此深邃的问题，好生培养，他日必成大器!
大圆筒内有实心小圆柱体会怎样滚动？一年级女儿问的？
参考第三十四届全国中学生物理竞赛复赛第一题
另外题主女儿年纪这么小就可以思考如此深邃的问题，好生培养，他日必成大器!
大圆筒内有实心小圆柱体会怎样滚动？一年级女儿问的？
往厕纸轴里边儿塞根铅笔，然后观察╮(╯▽╰)╭
大圆筒内有实心小圆柱体会怎样滚动？一年级女儿问的？
往厕纸轴里边儿塞根铅笔，然后观察╮(╯▽╰)╭
